Может ли работодатель переместить единственного кормильца в другую локацию в городе?

Здравствуйте! Да, может. Статус единственного кормильца в семье играет роль только при сокращении штата или увольнении по инициативе работодателя, и то не во всех случаях.

Так, согласно ст. 72.1 ТК РФ, перевод на другую работу - постоянное или временное изменение трудовой функции работника и (или) структурного подразделения, в котором работает работник (если структурное подразделение было указано в трудовом договоре), при продолжении работы у того же работодателя, а также перевод на работу в другую местность вместе с работодателем. Перевод на другую работу допускается только с письменного согласия работника, за исключением случаев, предусмотренных частями второй и третьей статьи 72.2 настоящего Кодекса.

Под структурными подразделениями следует понимать как филиалы, представительства, так и отделы, цеха, участки и т.д., а под другой местностью - местность за пределами административно-территориальных границ соответствующего населенного пункта (абз. 3 п. 16 Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 17.03.2004 N 2.

Не требует согласия работника перемещение его у того же работодателя на другое рабочее место, в другое структурное подразделение, расположенное в той же местности, поручение ему работы на другом механизме или агрегате, если это не влечет за собой изменения определенных сторонами условий трудового договора.

Получается, вас переводят в другой офис в пределах одного населенного пункта (города), соответственно, согласие на перевод от вас не требуется. Оно бы было нужно, если бы вас переводили, например, в Чехов или другой подмосковный город.