Вопрос про нарушение прав учителей

Здравствуйте! Давайте по порядку:

1. Вас не могли поставить на замену без вашего письменного согласия (ст. 60.2 ТК РФ). Следовательно, раз нет согласия - нет и замены. Директор должен сам решать эту проблему: например, найти другого учителя, который будет заменять болеющего.
2. Отказать в увольнении не имели права. Такая возможность гарантирована вам ст. 80 ТК РФ. Трудовая инспекция в данном случае права. Вам нужны доказательства, подтверждающие, что вам отказали в увольнении, чтобы расторгнуть трудовой договор через суд.
3. Компенсировать должны либо отгулами, либо двойной оплатой.

Как я вижу, трудовой инспекции, возможно, не особо интересны ваши проблемы, но я бы в первую очередь рекомендовала попробовать их решить с их помощью, то есть пожаловаться не только на отказ в увольнении, но и на неоплату сверхурочного труда, привлечение на замену без вашего согласия. Если вам там не помогут, подайте жалобу на инспектора руководителю инспекции. 

Альтернативный вариант - расторжение трудового договора, взыскание невыплаченных вам сумм через суд. Но там придется доказывать, что вам дали дополнительную нагрузку без вашего согласия, а выход раньше окончания отпуска отказались компенсировать.