Можно ли выписаться из квартиры в другом городе и снимутся ли начисления за газ и свет?

Здравствуйте! Как только вы зарегистрируетесь по новому месту жительства в другом городе, старая регистрация автоматически аннулируется (пп.а п.31 Постановления Правительства РФ от 17.07.1995 №713 "Об утверждении..."):

Снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае:

а) изменения места жительства - на основании заявления гражданина о регистрации по новому месту жительства или заявления о снятии его с регистрационного учета по месту жительства (в письменной форме или в форме электронного документа). При регистрации по новому месту жительства, если гражданин не снялся с регистрационного учета по прежнему месту жительства, орган регистрационного учета в 3-дневный срок обязан направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по прежнему месту жительства гражданина для снятия его с регистрационного учета.

Также вы можете выписаться в никуда, то есть без указания нового места жительства. 

Что касается уведомления энергосбыта и газпрома, то этим должен заняться собственник жилья, из которого вы выпишетесь, представив справку о количестве зарегистрированных лиц. Туда уведомления автоматически не поступают.