Может ли бабушка расчитывать на материальную помощь от матери ребенка, если ребенок проживает с бабушкой?

Здравствуйте! К сожалению, в вашей ситуации вопрос можно решить только через орган опеки. Над ребенком нужно установить опекунство, а это возможно лишь при условии, что оба родителя лишены родительских прав. То есть если лишать только мать, по закону дети должны остаться с отцом. Просто так вам никто их не отдаст. 

Лишить родителей родительских прав можно, если они злоупотребляют алкоголем или наркотиками, не выполняют родительские обязанности, совершили преступление в отношении жизни или половой неприкосновенности ребенка (ст. 69 СК РФ). 

Лишить родительских прав можно только через суд. Если суд удовлетворит ваше требование, можете потом установить над детьми опеку и оформить все пособия, а также взыскать с родителей алименты на их содержание до 18 лет.